Dva analogna zadatka

“Matematičar je osoba koja vidi analogiju između teorema, još veći je onaj koji vidi analogiju između dokaza raznih teorema; još je veći onaj koji vidi analogiju između teorija. A možemo zamisliti i onoga, koji vidi analogiju među analogijama.” –– Stefan Banach

Budući da nisam veliki matematičar, ja samo vidim analogiju među informatičkim zadatcima. U ovom slučaju to su zadatak NLO sa subotnjeg HONI natjecanja, te nešto lakši zadatak Vandal s Državnog 2007., čija rješenja dijele sličan trik u načinu razmišljanja.

U zadatku Vandal riječ je o matrici-šahovnici velikih dimenzija u kojoj su pokriveni jedan red, jedan stupac, neka dijagonala u jednom smjeru i neka dijagonala u drugom smjeru. Zadana je samo dimenzija matrice i oznake pokrivenog retka, stupca i dijagonala, a treba izračunati koliko je bijelih, a koliko sivih polja šahovnice barem jednom pokriveno.

Budući da je na ulazu samo pet brojeva, većina nas je to rješavala “matematički”, hrpom formula i ifova. To je u teoriji izvedivo, ali je jako komplicirano i teško izvesti bez greške za sve slučajeve. (Kad počnete crtati slučajeve, što se sa čime siječe ili ne siječe, bit će vam jasnije.) Takvo rješenje radi u konstantnoj složenosti (bez petlje), što je za informatički zadatak rijetkost: zadatak s takvim rješenjem bio bi loš, tj. zapravo matematički. Srećom, u ovom zadatku to nije očekivano rješenje.

Na suprotnom ekstremu nalazi se jednostavno brute-force rješenje koje za svako polje laganim formulama provjerava je li pokriveno. Ono je sporo jer matrica ima N x N polja za N ≤ 10⁷ pa ne stignemo proći po svim poljima.

Na sličnu situaciju nailazimo u zadatku NLO, gdje matricu pokriva nekoliko krugova. U geometriji je formulama moguće izračunati presjek/uniju dvaju krugova, možda čak i triju, no ovdje ih je 100 i osim toga to nisu pravi krugovi nego su diskretizirani na polja. Zato bilo kakvo rješenje čija bi složenost ovisila samo o broju krugova možemo zaboraviti.

S druge strane, mogli bismo za svako polje vrlo jednostavno provjeriti koji krugovi ga pokrivaju i izračunati koliko će na njemu trave narasti – kad to ne bi bilo presporo.

Rješenje se nalazi u sredini, između perspektiva “gledam krugove odjednom” i “gledam svako pojedino polje”. Nemamo vremena proći po poljima (N²), ali imamo vremena proći po redovima (N). Dovoljno je riješiti zadatak zasebno za svaki red matrice. Dakle, promatramo pojedini red, formulama izračunamo na kojim poljima ga sijeku krugovi (to su jedina polja gdje se mijenja stanje) i prolaskom po tim “zanimljivim” poljima usput zaključujemo što je s poljima koje preskačemo.

Ista je ideja u zadatku Vandal. Iako mi je bilo jasno da se zadatak može riješiti samo formulama i ifovima (iako ne znam je li to itko u potpunosti uspio), rečenica koju je Lovro Pužar izgovorio na prezentaciji rješenja bila mi je prosvjetljujuća: “N je do 10⁷ – ako si možete priuštiti for petlju, priuštite si je.” Prođemo po redovima; za svaki red možemo relativno lako izračunati polja u kojima ga sijeku zadani stupac i zadane dijagonale; riječ je o najviše tri zanimljiva polja kojima lako odredimo boju.